$k$-自由双曲$3$-流形的几何

我们研究闭的、可定向的双曲$3$-流形之几何，其基础群对给定整数$k\ge 3$是$k$-自由的。我们证明任意这样的流形$M$包含$M$的一点$P$，具有如下性质：若$S$是由长度$<\log(2k-1)$的环路所表示的$\pi_1(M,P)$中元素组成的集合，则对每一子集$T \subset S$，我们有${\rm rank}\ T \le k-3$。这将[6]与[10]中证明的结果推广到所有$k\ge3$，这些结果曾被用于联系双曲流形的体积与其拓扑性质，并且它严格改进了[11]中$k=5$所得的结果。证明避免了使用[10]与[11]中所用的关于自由群中并和交之秩的结果。