3-流形同调中的群表示
几何拓扑
2019-05-20 v5 代数拓扑
微分几何
表示论
摘要
若 M 是一个具有群 G 作用的流形，则同调群 H_1(M,Q) 自然地是一个 Q[G]-模，其中 Q[G] 表示有理群环。我们证明对每一个有限群 G 以及每一个 Q[G]-模 V，存在一个具有自由 G 作用的闭双曲 3-流形 M，使得 Q[G]-模 H_1(M,Q) 同构于 V。我们给出一个在谱几何中的应用：对每一个由素数组成的有限集 P，存在强等谱的双曲 3-流形 N 与 N'，使得对 P 中所有 p，H_1(N,Z) 与 H_1(N',Z) 的 p-幂挠子群具有不同阶数。我们还表明，在某种精确意义下，具有 G 作用的定向黎曼 3-流形的有理同调“不知道”任何关于 G 下不动点结构的信息，这与二维情形相反。主要几何技术为 Dehn 手术，以及对于谱应用时的 Cheeger-Müller 公式，但我们也使用了来自代数不同分支的工具，最显著的是调节器常数（regulator constants），一种最初在椭圆曲线背景下发展的表示论工具。
引用
@article{arxiv.1605.04866,
title = {Group representations in the homology of 3-manifolds},
author = {Alex Bartel and Aurel Page},
journal= {arXiv preprint arXiv:1605.04866},
year = {2019}
}
备注
18 pages; the Dehn surgery arguments are substantially revised and generalised. Final version to appear in Comment. Math. Helv