紧凑双曲面3维流形的群作用、测地线环及对称性

紧凑双曲面3维流形用于宇宙模型。其拓扑结构由其基本群π_1(M)特征化，其元素通过路径拼接相乘。紧凑流形M的普适覆盖是双曲空间H^3或双曲球B^3。它们与M共享常数负曲率的黎曼度量，允许Sl(2,C)的等距作用。基本群π_1(M)作为紧凑群Γ(M)在B^3上作均匀格子，并用M的复制品铺满B^3。其元素g产生双曲线截面的原像点和像点，这些点在自相交处形成M上的测地线环。对于任意固定的双曲g∈Γ，我们构造一个连续的两参数正规化器N_g<Sl(2,C)及其在B^3上的轨道面。轨道面对等长度的测地线环进行分类。我们给出测地线环长度以及在M上自相交处缺陷角的通用表达式，这些表达式以g和B^3上轨道参数为参数。长度最小的测地线环由特征χ(g)给出，属于单个轨道。只有这些最小测地线环具有消失的缺陷角，因而在整个地方都是光滑的。通过dodecahedral双曲Weber-Seifert流形M的例子阐明了对称性的作用。Γ(M)在具有 Coxeter图bf circ frac5{}circ frac3{}circ frac5{}circ 的双曲Coxeter群中为正规子，这导致测地线环之间的对称关系。