群作用何时由其轨道结构所决定？

我们提出了一种简单的方法来处理可数群在拓扑流形与光滑流形上作用的拓扑轨道等价问题。例如，对于可数群 $\Gamma$ 在拓扑流形上的任意作用，若任意元素的固定集包含于余维二子流形中，则每个轨道等价都是等变的。即使在存在更大固定集的情况下，对于保持刚性几何结构的作用，我们的结果也迫使充分光滑的轨道等价成为等变的。例如，若可数群 $\Gamma$ 作用于 ${\mathbb T}^n$ 且其作用与 $SL_n({\mathbb Z})$ 在 ${\mathbb T}^n$ 上的标准作用是 $C^1$ 轨道等价的，则 $\Gamma$ 同构于 $SL_n({\mathbb Z})$ 且这些作用同构。（若以有限指数子群替换 $SL_n(\mathbb Z)$，同样的结果成立。）我们还证明了保持几何结构是光滑轨道等价的不变量，并给出了我们的思想在双曲群理论中的一个应用。在证明定理的过程中，我们推广了 Sierpinski 的一个定理，该定理称连通 Hausdorff 紧拓扑空间不能是可数个闭集的不交并。我们证明了一个更强的命题，在局部连通的条件下允许“小”交。这意味着对于可数群 $\G$ 在连通、局部连通、局部紧、Hausdorff 拓扑空间上的任意连续作用，若每个元素的固定集是“小的”，则每个轨道等价都是等变的。