弱等价模下作用空间的拓扑与凸性

我们分析可数离散群的保测作用空间通过弱等价关系得到的商空间 $\mathrm{A}_\sim(\Gamma,X,\mu)$ 的结构。该空间具有自然的凸组合运算。我们证明 $\mathrm{A}_\sim(\Gamma,X,\mu)$ 的凸结构与拓扑相容，并由此推断 $\mathrm{A}_\sim(\Gamma,X,\mu)$ 是路径连通的。利用 Tucker-Drob 的思想，我们能够通过将其与不变随机子群的单纯形等同，对顺从群 $\Gamma$ 的 $\mathrm{A}_\sim(\Gamma,X,\mu)$ 的拓扑和凸结构给出完整描述。特别地，我们得出结论：$\mathrm{A}_\sim(\Gamma,X,\mu)$ 可表示为 Banach 空间的紧凸子集当且仅当 $\Gamma$ 是顺从的。我们考虑稳定弱等价类的空间 $\mathrm{A}_{\sim_s}(\Gamma,X,\mu)$，并证明它总是 Banach 空间的一个紧凸子集。对于自由群 $\mathbb{F}_N$，我们证明如果限制到自由作用的稳定弱等价类的紧凸集 $\mathrm{FR}_{\sim_s}(\mathbb{F}_N,X,\mu) \subseteq \mathrm{A}_{\sim_s}(\mathbb{F}_N,X,\mu)$ 上，则极值点在该集合中稠密。