凸函数、共轭与次微分的 $\Gamma$-收敛

我们将先前仅在可分自反 Banach 空间中建立的凸下半连续函数 $\Gamma$-收敛的对偶原理，推广到更广泛的弱紧生成（WCG）Banach 空间类，从而解决了 Fitzpatrick 和 Lewis 提出的问题。在等度强制的相同经典假设下，我们证明了范数拓扑下的 $\Gamma$-收敛等价于 Fenchel 共轭在弱$^\ast$ 拓扑下的 $\Gamma$-收敛。我们进一步证明，这种对偶等价于相关次微分关于乘积拓扑的图像收敛，该乘积拓扑由原空间的范数拓扑和对偶空间的弱$^\ast$ 拓扑给出。WCG 设定分别涵盖了所有可分和所有自反的 Banach 空间，即没有自反性假设的可分空间和没有可分性假设的自反空间，以及可能不可分的重要非自反空间，例如对于任意 $\sigma$-有限测度的 $L^1(\mu)$。作为应用，我们推导了 $L^p$ 空间（$1\leq p<\infty$）上凸积分泛函 $\Gamma$-收敛的对偶刻画。