可公度子群与微支撑作用

设 $\Gamma$ 为有限生成群，$X$ 为极小的紧 $\Gamma$-空间。我们假定该 $\Gamma$-作用是微支撑的，即对每个非空开子集 $U \subseteq X$，存在 $\Gamma$ 中一个元素在 $U$ 上非平凡作用且在补集 $X \setminus U$ 上平凡作用。我们证明，在适当假设下，$\Gamma$ 中某些可公度子群的存在性会对 $\Gamma$-作用的动力学产生强限制：$X$ 具有可压缩开子集，且它是几乎 $\Gamma$-边界。这些性质进而对 $\Gamma$ 的结构产生限制：$\Gamma$ 既非顺从的也非剩余有限的。作为应用，我们证明了与有限生成顺从群的极小扩张 Cantor 作用相关联的拓扑全群（的交错子群）除平凡子群外无可公度子群。类似地，有限生成枝群中的每个可公度子群都同公度于某个正规子群；后一断言依赖于 Dominik Francoeur 的附录，并推广了 Phillip Wesolek 关于有限生成恰无限枝群的结果。其他应用涉及圆周上的离散群作用，以及非离散完全不连通局部紧（tdlc）群的中心化子格。我们的结果本质上依赖于近期关于 tdlc 群结构、其微支撑作用动力学以及一致递归子群概念的研究成果。