受限子群的换位子引理及其在根树作用群中的应用

群 $G$ 的子群 $H$ 称为受限的，若其在共轭作用下于 $G$ 的子群空间 $\operatorname{Sub}(G)$ 中远离平凡子群的 $G$-轨道有正下界。我们证明了一个关于受限子群的换位子引理。对同胚群而言，这给出了受限子群（从而特别地含 URS）对应于正规子群经典换位子引理的精确类比：若 $G$ 是 Hausdorff 空间 $X$ 的同胚群且 $H$ 是 $G$ 的受限子群，则 $H$ 包含 $X$ 的某个开子集的刚性稳定子的导出子群。我们在根树作用群的设定中应用此换位子引理。我们证明了一个描述弱分支群的 URS 结构及其非拓扑自由极小作用的定理。作为这些结果的应用，我们表明：1) 若 $G$ 是有限生成分支群，则 $G$ 在 $\partial T$ 上的作用在所有忠实 $G$-作用中具有最小可能的增长；2) 若 $G$ 是有限生成分支群，则每个从 $G$ 到强有界型同胚群（例如有界自动机群）的嵌入必为空间实现；3) 若 $G$ 是有限生成弱分支群，则 $G$ 不嵌入到区间交换变换群 IET 中。