偏交换群的单关系商群

我们将单关系群论中的一个关键结果，即Magnus自由定理（Freiheitssatz），在关系元满足足够强条件的情况下推广到偏交换群。主要定理表明，在我们对偏交换群 $\mathbb{G}$ 中元素 $r$ 的条件下，某些Magnus子群嵌入到商群 $G=\mathbb{G}/N(r)$ 中；若 $r=s^n$ 在 $\mathbb{G}$ 中有根 $s$，则 $s$ 在 $G$ 中的阶为 $n$，并且在稍强条件下 $G$ 的的字问题是可判定的。我们还给出了条件，使得 $\mathbb{G}$ 的哪些Magnus子群嵌入 $G$ 的问题可归约为包含 $r$ 的 $\mathbb{G}$ 极小抛物子群中的同一问题。在许多情况下，这使我们能够通过关于 $r$ 和 $\mathbb{G}$ 的交换图的条件来刻画嵌入 $G$ 的Magnus子群，并找到字问题和共轭问题可判定的商群 $G$ 的更多例子。我们通过证明对于带弦的圈图 $\Gamma$，偏交换群 $\mathbb{G}(\Gamma)$ 中几乎所有循环约化元素都满足该定理的条件，给出主要定理适用情形并不少见的证据。