单关系群的单纯体积与稳定交换子长度

单关系群是指具有单一关系 $r$ 的表示 $\langle S \mid r \rangle$ 的群 $G_r$。单关系群是几何群论中一类经典研究的丰富群类。若 $r \in F(S)'$（即 $F(S)$ 的交换子子群），我们引入单纯体积 $\| G_r \|$。我们将该不变量与元素 $r \in F(S)$ 的稳定交换子长度 $\textrm{scl}_S(r)$ 联系起来。我们证明常（尽管不总是）有线性关系 $\| G_r \| = 4 \cdot \textrm{scl}_S(r) - 2$ 成立，且每个模 $1$ 的有理数都是某个单关系群的单纯体积。此外，我们证明该关系对真幂次以及满足小消去条件 $C'(1/N)$ 的元素近似成立，乘性误差为 $O(1/N)$。利用Calegari-Walker关于稳定交换子长度的类似结果，我们得以证明对于 $F(S)'$ 中长度为 $n$ 的随机元素，以高概率有 $\| G_r \|$ 为 $2 \log(2 |S| - 1)/3 \cdot n / \log(n) + o(n/\log(n))$。