Delzant的T不变量、Kolmogorov复杂性与单关系子群

我们证明对单关系子群“几乎一般性地”有：Delzant 的 $T$-不变量（衡量群有限表示的极小大小）与定义关系子的长度在数量级上相当。证明依赖于我们此前关于一般单关系子群同构刚性的结果，以及 Kolmogorov-Chaitin 复杂性理论的方法。我们还对具有长度为 $n$ 的循环约化定义关系子的 $k$ 生成单关系子群的同构类个数 $I_{k,n}$（当 $k$ 固定且 $n$ 趋于无穷时）给出精确的渐近估计：$$I_{k,n}\sim \frac{(2k-1)^n}{nk!2^{k+1}}.$$ 此处 $f(n)\sim g(n)$ 意指 $\lim_{n\to\infty} f(n)/g(n)=1$。