单关系元幺半群的林登恒等式定理

对每个单关系元幺半群 $M = \langle A \mid u=v \rangle$(其中 $u, v \in A^*$),我们构造一个可缩的 $M$-CW复形,并用它来构建平凡模的一个在各维数上有限生成投射分解。这证明了所有单关系元幺半群均为 ${\rm FP}_\infty$ 型,正面回答了 Kobayashi 于2000年提出的一个问题。我们还应用所得结果对上同调维数不超过 $2$ 的单关系元幺半群进行分类,并按 Ivanov 意义将无挠单关系元幺半群表示的关模描述为该幺半群环中一个显式给出的主左理想。此外,我们证明了这些结果的拓扑类比,即表明所有单关系元幺半群满足拓扑有限性性质 ${\rm F}_\infty$,并对几何维数不超过 $2$ 的单关系元幺半群进行分类。这些结果给出了单关系群之林登恒等式定理的一个自然幺半群类比。