幺半群的拓扑有限性性质。第一部分：基础

我们开创了对幺半群高维拓扑有限性性质的研究。这是通过发展幺半群作用于 CW 复形上的理论来完成的。为此，我们建立了 $M$-等变同伦理论的基础，其中 $M$ 是离散幺半群。对于投射 $M$-CW 复形，我们证明了若干基本结果，如同伦扩张与提升性质，并利用它证明了 $M$-等变 Whitehead 定理。我们将左等变分类空间定义为可缩的投射 $M$-CW 复形。我们证明这样的空间在 $M$-同伦等价意义下是唯一的，并通过幺半群的右 Cayley 图范畴的神经给出了此类空间的典范模型。随后，根据满足适当有限性性质的左等变分类空间的存在性，为幺半群定义了拓扑有限性条件 left-$\mathrm{F}_n$ 和左几何维数。我们还引入了 $M$-等变分类空间的双侧概念，证明了其唯一性，并通过双侧 Cayley 图范畴的神经给出了典范模型，同时定义了相关的有限性性质 bi-$\mathrm{F}_n$ 和几何维数。我们探讨了所有这些拓扑有限性性质与幺半群若干已被充分研究的同调有限性性质之间的联系，这些性质在字符串重写系统理论中非常重要，包括 $\mathrm{FP}_n$、上同调维数和 Hochschild 上同调维数。我们还发展了相应的 $M$-等变坍缩方案理论（即 $M$-等变离散 Morse 理论），并特别将其应用于给出 Anick、Squier 和 Kobayashi 结果的拓扑证明，即允许由完全重写系统表示的幺半群是 left-、right- 和 bi-$\mathrm{FP}_\infty$ 的。