Morse 场论

在本文中我们定义并研究流形 M 中度量图流形的模空间。这是从有限图到 M 的光滑映射空间，当限制到每条边时，是 M 上光滑（且通型为 Morse）函数的梯度流线。以 Gromov-Witten 理论为模型，用此模空间取代辛流形中稳定全纯曲线的空间，我们得到不变量，即 M 中的（上）同调运算。此设定中所得不变量是经典上同调运算，如杯积、Steenrod 平方与 Stiefel-Whitney 类。我们证明这些运算满足不变性与粘合性质，它们组合起来给出拓扑量子场论的结构。通过考虑关于图的自同构群作用的等变运算，该场论具有更多结构。它类似于同调共形场论。特别地我们证明经典关系如 Adem 关系与 Cartan 公式都是这些场论性质的推论。这些运算用两种不同方法定义与研究。首先，我们用代数拓扑技巧定义这些模空间的适当虚拟基本类。这使我们能通过模空间的相应相交数定义运算。其次，我们用几何与分析技巧研究这些模空间的光滑性与紧性。这将使我们能在 Morse-Smale 链复形层面上，通过适当计数具有特定边界条件的度量图流来定义这些运算。