环面簇的圈空间上的量子上同调与 Morse 理论

在辛流形 $M$ 上,量子乘积定义了一族含一个参数的平坦联络,称为 A-模型或 Dubrovin 联络。令 $\hbar$ 表示该参数。与它们相关联的是定义在复环面上一阶微分算子的 Heisenberg 代数上的量子 $\mathcal{D}$-模 ${\mathcal{D}}/I$。通过取 $\hbar\to 0$ 时的极限,$I$ 中的一个元素给出了 $M$ 的量子上同调中的一个关系。Givental (HomGeom) 发现,在 $M$ 的圈空间的(尚未严格定义的) ${S^1}$ 等变 Floer 上同调上应有一个 $\mathcal{D}$-模的结构,并猜想这两个模应当相等。基于此,我们提出了一个关于如何用辛作用泛函的 Morse 理论数据来计算量子上同调 $\mathcal{D}$-模的猜想。该猜想在环面流形且满足对所有 $M$ 中有理曲线的非零类 $d$ 有 $\int_d{c_1}> 0$ 的情形下得到证明。