度量空间的因果序复形与大小同伦型

本文针对给定度量空间 $X$ 与实参数 $\ell \geq 0$ 构造了一个带基点的 CW 复形，称为大小同伦型。该空间大致由所有长度为 $\ell$ 的路径构成，并具有同构于 $X$ 的大小同调群的约化同调群。为构造大小同伦型，我们考虑由因果（类时或类光）关系定义的时空 $X\times\mathbb{R}$ 上的偏序集结构。大小同伦型定义为 $X\times\mathbb{R}$ 上区间的序复形关于某个子复形的商。大小同伦型给出了从具有 $1$-Lipschitz 映射的度量空间范畴到带基点拓扑空间范畴的协变函子。大小同伦型对特定度量空间还具有类“路径积分”的表达式。通过将离散莫尔斯理论应用于大小同伦型，我们获得了 Mayer-Vietoris 型定理的新证明以及若干新结果，包括有限度量空间在悬铃木扭转下大小的不变性。