离散 Morse 同伦的有效 Mayer-Vietoris 定理

Mayer-Vietoris 定理因其在确定同伦中的广泛应用而闻名。事实上，此定理为我们提供了一个长恰同序列，其中底层同伦群得以体现。然而，此定理并不提供计算同伦的显式方法。本文我们使用离散 Morse 理论证明了一个“有效”版本的 Mayer-Vietoris 定理。假设我们有一个 Mayer-Vietoris 类型设置，即让 $X$ 为一个单纯复形，$A$ 和 $B$ 为 $X$ 的两个子复形，且 $A \cup B=X$。此外，让 $\mathcal{W}_A$、$\mathcal{W}_{B}$ 和 $\mathcal{W}_{A \cap B}$ 分别是 $A$、$B$ 和 $A \cap B$ 上的梯度向量场（它们不必是“相容”的，即它们在交集上不必相吻合）。然后，本文的主定理提供了一种显式计算 $X$ 同伦群的方法，无需知道各个同伦群 $H_{*}(A)$、$H_{*}(B)$ 和 $H_{*}(A \cap B)$。原则上，无论选择何种梯度向量场，都可以使用我们的定理对 $X$ 的同伦进行显式计算。进一步地，如果我们聪明地选择子复形 $A$ 和 $B$，使得 $A$、$B$ 和 $A \cap B$ 都能容纳高效的梯度向量场，那么同伦群的计算将大大简化。