基于离散 Morse 理论的完全图匹配复形拓扑

Bouc（1992）首次研究了 $M_n$（阶为 $n$ 的完全图的匹配复形）的拓扑性质，并将其与 Brown 复形和 Quillen 复形相联系。Bj"{o}rner 等人（1994）证明了 $M_n$ 同伦意义上为 $(\nu_n-1)$-连通的，其中 $\nu_n=\lfloor{n+1}/{3}\rfloor-1$，并猜想该连通性界是锐的。Shareshian 与 Wachs（2007）通过归纳证明 $M_n$ 的 $\nu_n$ 维同调群非平凡，以 Bouc 对 $H_1(M_7)$ 的计算为关键基步，解决了该猜想。总体而言，$M_n$ 的拓扑即便对较小的 $n$ 也未被很好理解。在本文中，我们依据 Forman（1998）发展的离散 Morse 理论考察 $M_n$（尤其是 $M_7$）的拓扑。我们首先在 $M_n$（对 $n \ge 5$）上构造了一个梯度向量场，其不含有维数不超过 $\nu_n-1$ 的临界单形，除一个不可避免的 $0$-单形外，这也以纯组合方式导出了前述 $M_n$ 的 $(\nu_n-1)$-连通性。然而，为通过离散 Morse 理论技术进行高效同调计算，我们需要使用一个具有较少临界单形且允许高效枚举梯度路径的梯度向量场。最优梯度向量场是临界单形最少的场，但一般而言寻找最优梯度向量场是 NP 难问题（即便对 $2$ 维复形）。我们特别将 $M_7$ 上构造的梯度向量场改进为高效得多（近最优）的场，并借助该改进梯度向量场以高效、算法化的方式计算了 $M_7$ 的同调群。我们还将该近最优梯度向量场扩充为我们猜想为最优的场。