关于路径图范畴积的匹配复形

图 $G$ 的匹配复形 $\mathsf{M}(G)$ 是一个单纯复形，其单形为 $G$ 中的匹配。这些复形出现在多个领域，并在数学的许多分支中得到了应用，包括计算几何、表示论、组合学等。本文考虑路径图 $P_n$ 与 $P_m$ 的范畴积 $P_n \times P_m$ 的匹配复形。当 $m = 1$ 时，$P_n \times P_m$ 是离散图，因此其匹配复形是空复形。当 $m = 2$ 时，Kozlov 已证明 $\mathsf{M}(P_n \times P_m)$ 同伦等价于球面的一点并。我们证明，对于 $n \geq 2$ 且 $3 \leq m \leq 5$，$P_n \times P_m$ 的匹配复形同伦等价于球面的一点并。对于 $m = 3$，我们显式计算了该一点并中出现的球面的数量和维数。此外，对于 $m \in \{4, 5\}$，我们给出了 $\mathsf{M}(P_n \times P_m)$ 的同伦型中一点并内球面的最小和最大维数。