关于离散Morse理论方法在断开图复形上应用的一点注记

Robin Forman 极具影响力的 2002 年论文《离散Morse理论用户指南》以极易读的方式概述了该主题。作为概念验证，作者利用本质上纯组合性质的离散Morse理论方法（而非 Victor Vassiliev 所用的经典拓扑方法）确定了 n 阶断开图抽象单纯复形的拓扑（同伦型）。这些技术涉及在该复形上构造（并验证）一个离散梯度向量场。然而，验证部分依赖于一个似乎并不成立的断言。在本注记中，我们针对这一具体断言给出若干反例。我们还对“所构造的离散向量场确为梯度向量场”这一更大的断言给出了另一种证明。我们的证明技术依赖于一个并非针对手头问题特有的关键观察，因而可普遍适用于验证所构造的离散向量场为梯度向量场的情形。