Bestvina-Brady 离散莫尔斯理论与 Vietoris-Rips 复形

我们利用 Bestvina-Brady 离散莫尔斯理论的一个新推广来考察某些度量空间 $X$ 的 Vietoris-Rips 复形 $VR_t(X)$。我们的主要结果是关于 $X$ 的一对度量判据，称为莫尔斯判据和链环判据，它们使我们能够推断某些 $VR_t(X)$ 的同伦类型信息。一个应用是拓扑数据分析，具体而言是某些 Vietoris-Rips 复形同伦类型的持续性。例如我们恢复了 Adamaszek-Adams 和 Hausmann 关于 $VR_t(S^n)$ 同伦类型的某些结果。另一个应用是几何群论；我们证明任何在满足链环判据某种版本的度量空间上几何作用的群，都容许在一个可缩单纯复形上的几何作用，这对群的有限性性质有意义。这适用于例如渐近 $CAT(0)$ 群。我们还证明任何具有在适当范围内满足链环判据的词度量的群具有可缩的 Vietoris-Rips 复形，并利用梳状结构展示了一类具有此性质的群。