欧几里得子流形的度量加厚

给定嵌入欧几里得空间的未知流形 $X$ 的样本 $Y$，可以通过在顶点集 $Y$ 上构建 Vietoris--Rips 或 \v{C}ech 单纯复形来恢复 $X$ 的同调群。然而，这些单纯复形未必继承流形的度量结构，特别是当 $Y$ 为无限集时。事实上，若非局部有限，单纯复形甚至不可度量化。我们转而考虑称为\emph{Vietoris--Rips}和\emph{\v{C}ech 加厚}的度量加厚，它们装备了 1-Wasserstein 度量以替代单纯复形拓扑。我们证明，对于具有正 reach 的欧几里得子集 $X$，其加厚满足 Hausmann 定理和神经引理的度量类比（当尺度参数小于 reach 时，$X$ 的度量 Vietoris--Rips 和 \v{C}ech 加厚与 $X$ 同伦等价）。据我们所知，这是针对欧几里得子流形（而非黎曼流形）的 Hausmann 定理的首个版本，且我们的结果也推广至非流形形状（因为并非所有具有正 reach 的集合都是流形）。与 Hausmann 的原始证明相比，我们的同伦等价是一个形变收缩，由双向规范映射实现，并且可以通过从映射复合到相应恒等映射的简单线性同伦证明为同伦等价。