基于最优传输度量的度量加厚中的持久拓扑

给定度量空间 $X$ 的度量加厚是指任何允许 $X$ 等距嵌入的度量空间。加厚已在拓扑学应用于数据分析中找到用途，其中可通过空间递增序列的持久同调来近似数据集的形状。我们引入两个新的度量加厚族：对所有 $1\le p\le \infty$ 的 $p$-Vietoris-Rips 与 $p$-\v{C}ech 度量加厚，它们包含 $X$ 上所有 $p$-直径或 $p$-半径有上界的测度，并配备最优传输度量。测度的 $p$-直径（相应地 $p$-半径）是度量空间子集通常直径（相应地半径）概念的某种 $\ell_p$ 松弛。当 $p=\infty$ 时，这些族恢复了先前研究的 Vietoris-Rips 与 \v{C}ech 度量加厚。作为主要贡献，我们证明了 $p$-Vietoris-Rips 与 $p$-\v{C}ech 度量加厚持久同调的稳定性定理，该定理即使在 $p=\infty$ 情形下也是新颖的。在特定情形 $p=2$ 下，我们证明了流形加厚的 Hausmann 型定理，并推导了随着尺度增大 $n$-球面的 $2$-Vietoris-Rips 加厚的同伦类型完整列表。