反 Vietoris--Rips 度量加厚与 Borsuk 图

对于度量空间 $X$ 和 $r\ge 0$，反 Vietoris-Rips 度量加厚 $\mathrm{AVR^m}(X;r)$ 是 $X$ 上所有支撑集散布度至少为 $r$ 的有限支撑概率测度构成的空间，配备最优传输拓扑。我们研究球面的反 Vietoris-Rips 度量加厚。当 $r > \pi$ 时，有同胚 $\mathrm{AVR^m}(S^n;r) \cong S^n$；当 $\frac{2\pi}{3} < r \le \pi$ 时，有同伦等价 $\mathrm{AVR^m}(S^n;r) \simeq \mathbb{RP}^{n}$；当 $r=0$ 时，具有可缩性 $\mathrm{AVR^m}(S^n;r) \simeq *$。对于 $n$ 维紧 Riemann 流形 $M$，我们证明 $\mathrm{AVR^m}(M;r)$ 的覆盖维数至多为 $(n+1)p-1$，其中 $p$ 是 $M$ 在尺度 $r$ 下的填充数。因此，$\mathrm{AVR^m}(M;r)$ 的 $k$ 维 \v{C}ech 上同调在所有维度 $k\geq (n+1)p$ 上消失。我们进一步证明了关于 $\mathrm{AVR^m}(S^n;\frac{2\pi}{3})$ 拓扑的结论，其上同调在 $2n+2$ 维及更高维上消失。我们探索了其与 Borsuk 图色数的联系，特别地，我们证明了对于 $k>n$，当 $\alpha > \frac{2\pi}{3}$ 时，不存在图同态 $\mathrm{Bor}(S^k;r) \to \mathrm{Bor}(S^n;\alpha)$。