超立方体图的 Vietoris-Rips 复形同调的下界

我们给出了各维度、各尺度下超立方体图的 Vietoris-Rips 复形 Betti 数的新下界。具体而言，令 $Q_n$ 为 $n$ 维超立方体图中具有 $2^n$ 个顶点的顶点集，并赋予最短路径度量。令 $VR(Q_n;r)$ 为其在尺度参数 $r \ge 0$ 下的 Vietoris--Rips 复形，该复形以 $Q_n$ 为顶点集，并以所有直径至多为 $r$ 的子集为其单形。对于整数 $r<r'$，包含映射 $VR(Q_n;r)\hookrightarrow VR(Q_n;r')$ 为零伦的，意味着不存在长度大于 1 的持久同调条，因此我们关注各个空间 $VR(Q_n;r)$ 本身。我们给出了 $VR(Q_n;r)$ 同调群秩的下界。例如，利用交叉多胞形生成元，我们证明 $H_{2^r-1}(VR(Q_n;r))$ 的秩至少为 $2^{n-(r+1)}\binom{n}{r+1}$。我们还证明了一种\emph{同调传播}：若 $q\ge 1$ 且 $p$ 是使 $rank H_q(VR(Q_p;r))\neq 0$ 成立的最小整数，则对所有 $n \ge p$ 有 $rank H_q(VR(Q_n;r)) \ge \sum_{i=p}^n 2^{i-p} \binom{i-1}{p-1} \cdot rank H_q(VR(Q_p;r))$。当 $r\le 3$ 时，该结果及其变体给出了对所有 $n$ 的 $H_q(VR(Q_n;r))$ 秩的紧下界；而对每个 $r \ge 4$，我们给出了同调群秩的新下界。此外，我们表明对每个 $r\ge 2$，当 $n \ge 2r+1$ 时 $VR(Q_n;r)$ 的同调群包含由初始交叉多胞形生成元所诱导的传播同调以外的同调。