关于整数格的 Vietoris-Rips 复合体

对于度量空间 $X$ 和 $r \geq 0$，Vietoris-Rips 复合体 $\mathcal{VR}(X;r)$ 是由直径至多为 $r$ 的有限点子集构成的单纯复合体。Vietoris-Rips 复合体在数据分析、几何群论、传感器网络等多个领域都有应用。将整数格 $\mathbb{Z}^n$ 视为以 $d_1$ 度量（即曼哈顿度量或 Cayley 图中的标准词度量）构成的度量空间。Ziga Virk 证明了当 $r \geq n^2(2n-1)$，或 $1 \leq n \leq 3$ 且 $r \geq n$ 时，复合体 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 为同伦等价于点的单纯复合体，并提出了问题 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 是否在所有 $r \geq n$ 时均为同伦等价于点。最近，Matthew Zaremsky 改进了 Ziga 的结果，证明当 $r \geq n^2+ n-1$ 时，复合体 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 为同伦等价于点。进一步地，他猜想 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 在所有 $r \geq n$ 时均为同伦等价于点。我们证明了 Zaremsky 的猜想在 $n \leq 5$ 时成立，即我们证明当 $n \leq 5$ 且 $r \geq n$ 时，复合体 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 为同伦等价于点。此外，我们证明当 $r \geq 10$ 时，复合体 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 为同伦等价于点。我们确定 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;2)$ 的同伦类型，证明这些复合体与 countably infinite copies of $\mathbb{S}^3$ 的 wedge 同伦等价。我们还证明当 $r \geq 2$ 时，复合体 $\mathcal{VR}(\mathbb{Z}^n;r)$ 为简单连通的。