整数格 Rips 复合体的局部支配下的可收缩性

我们证明，对每个正整数 $n$，以 $d_1$ 度量（即曼哈顿度量，也称为 Cayley 图中自然单词度量）下的 $n$ 维整数格的 Rips 复合体在尺度超过 $n^2(2n-1)$ 时是可收缩的，边界来源于 Jung 常数。我们引入了单纯形复合体中局部支配顶点的新概念，基于此构建我们的证明策略。这使我们能够从称为局部压碎的局部几何条件中推导出 Rips 复合体的可收缩性。在 $n$ 维整数格和固定尺度 $r$ 的情况下，这一条件要求将有限多个距离进行比较，以确定对应的 Rips 复合体是否可收缩。特别地，我们能够验证对于 $n=1,2,3$，尺度大于或等于 $n$ 时 $n$ 维整数格的 Rips 复合体是可收缩的。我们推测相同的证明策略可用于将此结果推广到所有维度 $n$