格、内射度量与 $K(\pi,1)$ 猜想

从一个具有 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{R}$ 作用的格出发，我们构造一个 Helly 图或一个内射度量空间。我们推得任意有界分次格的 $\ell^\infty$ 正构复形是内射的。我们还证明了局部内射度量空间的一个 Cartan-Hadamard 型结果。我们应用此来证明任意 Garside 群或任意 FC 型 Artin 群作用于一个内射度量空间和一个 Helly 图上。我们还推得任意扩展型 $\tilde{A_n}$、$\tilde{B_n}$、$\tilde{C_n}$ 或 $\tilde{D_n}$ 的欧氏建筑物上的自然分段 $\ell^\infty$ 度量是内射的，且其加厚是一个 Helly 图。关于欧氏型 $\tilde{A_n}$ 和 $\tilde{C_n}$ 的 Artin 群，我们证明 Deligne 复形上的自然分段 $\ell^\infty$ 度量是内射的，其加厚是一个 Helly 图，且它容许一个凸双梳。这给出了 $K(\pi,1)$ 猜想的一个度量证明，以及当 Deligne 复形具有 CAT(0) 度量时通常已知的若干其他推论。