复洛伦兹Leech格与双魔群 (II)

设 $D$ 为 $\FF_3$ 上射影平面的关联图。图 $D$ 的Artin群可满射到双魔群以及作用于13维复双曲空间 $Y$ 上的复双曲反射群 $\Gamma$。Artin群的生成元被映射为双魔群（分别为 $\Gamma$）中阶为2（分别为3）的元素。设 $Y^{\circ} \subseteq Y$ 为 $\Gamma$ 的镜面并集的补集。Daniel Allack曾猜想 $Y^{\circ}/\Gamma$ 的轨形基本群可满射到双魔群。在本文中，我们研究了反射群 $\Gamma$。我们的主要结果表明，存在从 $D$ 的Artin群到 $Y^{\circ}/\Gamma$ 的轨形基本群的同态，该同态是通过将Artin生成元映射为 $\Gamma$ 中生成反射的镜面周围的单值生成元而得到的。这回答了Allcock文章“A monstrous proposal”中的一个问题，并朝着证明Allcock的猜想迈出了一步。有限群 $\op{PGL}(3, \FF_3) \subseteq \Aut(D)$ 作用于 $Y$ 并逐点固定一条复双曲直线。我们证明了将 $Y$ 上的 $\Gamma$-不变亚纯自守形式限制到被 $\op{PGL}(3, \FF_3)$ 固定的复双曲直线上，会给出水平为13的亚纯模形式。