$PU(9,1)$中的新复反射群与Barnes-Wall格

我们证明，签名$(9,1)$的唯一$(1+i)$-模Hermitian $\mathbb{Z}[i]$-模的射影化复反射群$\Gamma$是$PU(9,1)$中一个新的算术反射群。我们找到生成$\Gamma$的$32$个四阶复反射。这$32$个反射的镜面构成了$\Gamma$的一种Coxeter-Dynkin图$D$的顶点，其编码了$\Gamma$的Coxeter型生成元与关系。$D$的顶点可由$\mathbb{F}_2^4$中的十六个点与十六个仿射超平面索引。$D$的边由这些点与超平面的有限几何决定。图$D$的自同构群为$2^4 \colon (2^3 \colon L_3(2)) \colon 2$。该群传递地置换$32$个生成反射的镜面，并固定$\mathbb{C} H^9$中唯一一点$\tau$。这$32$个镜面恰为距$\tau$最近的镜面。这些结果与Allcock怪物猜想中心处的复双曲反射群所满足的结果惊人地相似。