单位群上自由代数模块形式的有限性

经典结果表明，若模形式代数 $M_*(\Gamma)$ 为自由生成的，则 $\Gamma$ 必须是正交群 $\operatorname{O}^+(2,n)$ 或单位群 $\operatorname{U}(1,n)$ 中的算术子群。Vinberg 和 Schwarzman 证明在正交情形下，若 $n>10$，则永远不为自由。本文我们考察剩余的单位情形，证明在虚二次域上签名为 $(1, n)$ 的 Hermitian 格中，最多只有有限个等距类的 Hermitian 格在 $n>2$ 时 admits 自由模形式代数。特别地，当 $n>99$（在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上需 $n > 154$），则对任何 $\Gamma<\operatorname{U}(1,n)$，graded 代数 $M_*(\Gamma)$ 永远不为自由，从而在一定程度上证实了 Wang 和 Williams 的猜想。作为副产品，我们也建立了一个关于反射模形式的有限性结果。在该证明过程中，我们推导了一个关于特殊单位群算术子群体积的公式，作为 Hermitian 格稳定器的稳定器，概括了 Prasad 对于 principal 算术子群在特殊单位群情形下的体积公式。