某些线性群中含常数方程非解的长度

我们证明：对任意有限秩自由群 $\Gamma$，任一含 $\Gamma$ 中常数的单变量、长度为 $n$ 的字方程，都会被 $\Gamma$ 中某个词长 $O(\log (n))$ 的元素所不满足。由第一作者的一个结果，对任意有限生成群 $\Gamma$，该对数界都无法改进。除自由群外，我们的方法（及对数界）适用于一类群，包括所有 $d \geq 2$ 的 $\mathrm{PSL}_d(\mathbb{Z})$，以及所有闭双曲曲面与 $3$-流形的基本群。最后，利用 Nekrashevych 的一个构造，我们给出一个有限生成群 $\Gamma$ 以及一列含 $\Gamma$ 中常数的字方程，使得 $\Gamma$ 中每个非解的词长都严格大于对数级。