关于复反射构形限制的 $K(\pi, 1)$ 问题

设 $W\subset GL(V)$ 为一复反射群，${\mathscr A}(W)$ 为 $W$ 中复反射的镜面之集。已知反射构形 ${\mathscr A}(W)$ 的补集 $X({\mathscr A}(W))$ 是一个 $K(\pi,1)$ 空间。对于 $\mathscr A(W)$ 中超平面的一个交 $Y$，令 $X(\mathscr A(W)^Y)$ 为 $Y$ 中那些不包含 $Y$ 的 $\mathscr A(W)$ 中超平面的补集。我们希望 $X(\mathscr A(W)^Y)$ 总是一个 $K(\pi,1)$。我们在单项群 $W = G(r,p,\ell)$ 的情形证明了这一点。利用已知结果，我们进而表明仅剩下三个不可约复反射群，导致仅有八种此类诱导构形的 $K(\pi,1)$ 性质尚待证明。