超立方体图的Vietoris–Rips复形

我们描述了超立方体图在小尺度参数下Vietoris–Rips复形的同伦类型。更详细地，令$Q_n$为具有$2^n$个顶点的超立方体图的顶点集，配备最短路径度量。等价地，$Q_n$为长度为$n$的所有二进制串的集合，配备汉明距离。尺度参数为零时$Q_n$的Vietoris–Rips复形是$2^n$个点，尺度参数为一时$Q_n$的Vietoris–Rips复形是超立方体图，其同伦等价于圆的楔和。我们证明尺度参数为二时$Q_n$的Vietoris–Rips复形同伦等价于3-球面的楔和，并且进一步给出了3-球面数量的公式。关于更大尺度参数下$Q_n$的Vietoris–Rips复形的许多问题仍然开放。