关于超立方体图的Vietoris–Rips复形（尺度3）

对于度量空间$(X, d)$和尺度参数$r \geq 0$，Vietoris–Rips复形$\mathcal{VR}(X;r)$是以$X$为顶点集的单纯复形，其中有限集$\sigma \subseteq X$是单形当且仅当$\sigma$的直径至多为$r$。对$n \geq 1$，令$\mathbb{I}_n$表示$n$维超立方体图。本文中，我们证明$\mathcal{VR}(\mathbb{I}_n;r)$仅在维数$4$和$7$具有非平凡约化同调。由此，我们回答了Adamaszek和Adams近期提出的一个问题。一个（有限）单纯复形$\Delta$是$d$-可坍塌的，如果它能通过反复移除一个大小至多为$d$、且包含于$\Delta$的唯一极大面中的面，归约为空复形。$\Delta$的坍塌数是指使$\Delta$为$d$-可坍塌的最小整数$d$。我们证明对$r \in \{2, 3\}$，$\mathcal{VR}(\mathbb{I}_n;r)$的坍塌数为$2^r$。