Vietoris--Rips 复合体在极限中的阴影

度量空间 $(X,d)$ 在尺度 $\beta$ 上的 Vietoris-Rips 复合体，记为 $R_\beta(X)$，是一种抽象单纯形复合体，其中每个 $k$ 单纯形对应于直径 $\beta$ 内的 $(k+1)$ 个点。对于任意顶点集合为 $\mathbb{R}^N$ 的抽象单纯形复合体 $K$，其阴影记为 $S(K)$，是单纯形的凸包的联合。本文聚焦于顶点来自 $\mathbb{R}^N$ 的 Vietoris-Rips 复合体 $K=R_\beta(X)$ 的阴影的 homotopy 性质，以及标准投影映射 $p\colon R_\beta (X) \to S(R_\beta(X))$。研究映射 $p$ 的几何/拓扑行为是一个自然而又非平凡的问题。映射 $p$ 可能具有许多“奇点”，这些奇点仅在低维 $N\leq 3$ 中部分得到解决。这个障碍自然导致我们研究这些复合体系统 $\{S(R_{\beta}(S)) \mid \beta > 0, S\subset X\}$。我们通过利用形状论中的逆系统技术来研究阴影复合体系统，以解决阴影投影映射中奇点的挑战，显示极限映射在具有良好 homotopy-理论性质方面表现良好。更具体地，利用形状论的想法和框架，表明在极限“$\beta \to 0$ 且 $S \to X$”时，极限映射“$\lim p$”在 $X$ 为 ANR (绝对邻域承腹) 且满足某些规则性条件的度量下，能够良好地与 homotopy/同调群保持一致。这一结果涉及当接近度参数趋于零且样本集合趋近于底层空间（例如子流形或欧几里得图）时，这些复合体系统的 homotopy 性质的极限定理。论文以讨论这些结果在一维子流形的有限重建问题中的潜力作结尾。