球面的 Vietoris-Rips 复合体连通性

我们调查了关于球面 Vietoris-Rips 复合体及其厚化结构的已知情况与未知情况。随后,我们展示了如何通过球面与射影空间的覆盖来控制 Vietoris-Rips 复合体的同伦连通性。设 $S^n$ 为直径为 $\pi$ 的测地距离的 $n$ 球,并设 $\delta > 0$。假设 Vietoris-Rips 复合体 $\mathrm{VR}(S^n;\pi-\delta)$ 在尺度 $\pi-\delta$ 下的第一个非平凡同伦群位于维数 $k$,即假设其连通性为 $k-1$。则 $\mathrm{cov}_{S^n}(2k+2) \le \delta < 2\cdot \mathrm{cov}_{\mathbb{R}P^n}(k)$。换言之,存在半径为 $\delta$ 的 $2k+2$ 个球覆盖 $S^n$,且没有 $k$ 个半径为 $\frac{\delta}{2}$ 的球覆盖射影空间 $\mathbb{R}P^n$。作为推论,Vietoris-Rips 复合体的同伦类型在尺度 $r$ 增加时会无限次数地发生变化。