球面的 \v{C}ech 复合体的同伦连通性

设 $S^n$ 为直径为 $\pi$ 的测地距离的 $n$ 球。$S^n$ 在尺度 $r$ 处的内在 \v{C}ech 复合体是所有半径为 $r$ 的开球的神经结构。在本文中，我们展示了如何控制 \v{C}ech 复合体在 $0$ 到 $\pi$ 之间每个尺度上的同伦连通性，这取决于球的覆盖。我们的上界在 $n=1$ 时为尖锐的，来源于 Borsuk 图的色数。我们的下界通过 \v{C}ech 复合体对充分稠密的有限子集的共轳 (conicity) 来获得。我们的界限意味着对于 $n\ge 1$，$S^n$ 在尺度 $r$ 处的 \v{C}ech 复合体的同伦类型在 $r$ 变化时会无限多次改变；我们推测仅为可数次。此外，我们以包裹界限对 \v{C}ech 复合体的有限子集的同调维数进行下界。