球面上随机 $\epsilon$-距离图的拓扑与色数

给定 $0<\alpha\leq\pi$、${\epsilon}>0$ 和 $n$，我们在 $d$ 维球面上通过抽取 $n$ 个独立同分布的均匀随机点作为顶点来定义随机图，当 $u$ 与 $v$ 之间的测地距离 ${\epsilon}$-接近于 ${\alpha}$ 时连边 $u {\sim} v$。该模型推广了球面上的距离图以及随机 Borsuk 图。已知拓扑工具可为 Borsuk 图的色数给出紧界。我们现在研究这些拓扑不变量之一，即 L\'ovasz 邻域复形的连通性，在界定该随机图模型色数方面的效率。我们表明，一般而言该界表现很差，但在维度 $d=1$ 和 2 时仍产生一些有用的界。