随机 Hasse 图与盒型 Delaunay 图的着色问题

固定$d\geq2$，考虑区间$[0,1]^{d}$中均匀随机选取的$n$个点集合。设$G$为该点集合的Hasse图（依据坐标wise偏序），或 alternatively 设$G$为该点集合依据轴对齐盒（axis-parallel boxes）构成的Delaunay图（若存在包含$u,v\in P$且不包含其他点$P$的轴对齐盒，则在$u,v$之间加边）。在这两种紧密相关的情形中，我们证明$G$的色数通常为$(\log n)^{d-1+o(1)}$，独立集数通常为$n/(\log n)^{d-1+o(1)}$。当$d=2$时，我们得到的界限在常数因子上达到了尖锐：色数通常为$\log n/\log\log n$级，独立集数通常为$n\log\log n/\log n$级。这些结果扩展并细化了Chen、Pach、Szegedy和Tardos等人的先前结果。此外，它们提供了$d$维盒型Delaunay图或Hasse图可能具有的最大色数（以及最小独立集数）的新界限，特别是解决了Tomon的猜想。