随机 Cayley 图的区分色数

图 $G$ 的\textit{区分色数}（Distinguishing Chromatic Number），记为 $\chi_D(G)$，最早由 \cite{collins} 定义为对 $G$ 进行正常着色所需的最少颜色数，使得图 $G$ 的任何非平凡自同构 $\phi$ 都不固定 $G$ 的每个颜色类。在本文中，我们考虑定义在某些阿贝尔群 $A$ 上的随机 Cayley 图 $\Gamma(A,S)$，并证明以至少 $1-n^{-\Omega(\log n)}$ 的概率，有 $\chi_D(\Gamma)\le\chi(\Gamma) + 1$。