奇数型与唯一型 Ramsey 数的新结果

图 $H$ 的奇数 Ramsey 数 $r_{\text{odd}}(n,H)$ 是指对 $K_n$ 进行边着色，使得在每个 $H$ 副本中某种颜色出现的次数为奇数；唯一型 Ramsey 数 $r_{\text{u}}(n,H)$ 则要求某种颜色出现的次数不仅为奇数，而恰好为一次。本文回应了前期论文中的三个问题。我们证明当 $s \leq t$ 且 $s$ 为奇数、$t$ 为偶数时，$r_{\text{odd}}(n,K_{s,t}) > n^{1/(\frac s2 + \frac 1{2\lfloor t/8 \rfloor})}$，该下界在 $s$ 固定且 $t \to \infty$ 时为对数渐近紧致。接下来，我们考虑宿主图为超 Dirac 图时的奇数 Ramsey 数，证明在最小度至少为 $n/2 + 2$ 的任意宿主图中，闭合回路的奇数 Ramsey 数为非平凡值。最后，我们证明 $r_\text{u}(n,C_n) > n/4$，从而在 $r_\text{odd}(n,C_n)$ 与 $r_\text{u}(n,C_n)$ 之间展现出多项式间隙。