稀疏图的规范 Ramsey 数

Erd\H{o}s 和 Rado 的规范 Ramsey 定理表明，对于任意图 H，足够大的完全图 K_N 的任意边着色（具有任意数量的颜色）中包含 H 的单色、字典序或彩虹色复制品。最小的此类 N 称为 H 的 Erd\H{o}s-Rado 数，记作 ER(H)。完全图的 Erd\H{o}s-Rado 数已受到广泛关注，本文通过研究稀疏图的 Erd\H{o}s-Rado 数来延续这一研究线索。例如，我们证明，如果 H 的最大度数受限，则当 H 为二分图时，ER(H) 为 |V(H)| 的多项式函数，但在一般情况下为指数级。我们也研究相关的受限 Ramsey 数问题。给定树 S 和给定路径 P_t，我们研究最小的 N 使得 K_N 的任意边着色中包含单色 S 的复制品或 P_t 的彩虹色复制品。我们给出近乎最佳的上界，该上界与已知最佳下界相差一个逆 Ackermann 类型的函数。