小型规范 Ramsey 数与有序 Ramsey 数的下界与上界

本文研究了将 Ramsey 数推广到其他组合设置中的三个问题。首先我们考虑有序 Ramsey 数。在有序 Ramsey 数中,我们询问在对有序完全图 $K_n$ 的每个 $2$-边着色中,是否存在一个线性有序图 $G$ 的单色子图。最小的这样的 $n$ 用 $\vec{R}(G)$ 表示。接下来我们研究规范 Ramsey 数。规范着色指有序图 $G$ 的一种边着色方式,其中 $G$ 为单色、虽色或极小/最大字典序。在后者情况下,每对边若共享相同的第一个(或第二个)顶点,则接收相同的颜色。Erd\H{o}s 和 Rado 证明,对于每个 $p$ 都存在 $n$ 使得有序 $K_n$ 的每个边着色都包含一个 $K_p$ 的规范子图;最小的这样的 $n$ 用 $ER(G)$ 表示。最后我们考察无序规范 Ramsey 数,这是 Richer 引入的一个概念。图 $G$ 的边着色称为可排序的,若存在其顶点序列使得每条边的颜色仅由其第一个顶点决定。与字典序着色不同,此概念还包括单色着色。Richer 证明对于所有 $s$ 和 $t$,都存在 $n$ 使得 $K_n$ 的每个边着色都包含一个 $K_s$ 的可排序子图或一个虛色 $K_t$。最小的这样的 $n$ 用 $CR(s,t)$ 表示。在这三个设置中,我们关注确定小图 $G$ 对应的 Ramsey 数。我们使用禁忌搜索和整数规划获得下界,使用标号代数或整数规划建立上界。除其他结果外,我们确定了所有最多有四个顶点的图 $G$ 的 $\vec{R}(G)$(除 $K_4^-$外),确定了所有 $P_4$ 排序形式下的 $ER(P_4)$，以及确切值 $CR(6,3)=26$ 和 $CR(3,5)=13$。