圆的Vietoris-Rips复形

给定度量空间 X 与距离阈值 r>0，Vietoris-Rips 单纯复形以 X 中直径小于 r 的有限子集为其单形。Jean-Claude Hausmann 的一个定理指出，若 X 为黎曼流形且 r 足够小，则 Vietoris-Rips 复形同伦等价于原流形。对于较大 r 值下 Vietoris-Rips 复形的行为知之甚少，尽管这些复形在利用持续同调的应用中自然出现。我们展示随着 r 增大，圆的 Vietoris-Rips 复形依次获得圆、3-球、5-球、7-球……的同伦型，直至最终可缩。作为主工具，我们引入一个有向图不变量，即缠绕分数，其在某种意义下对偶于循环色数。利用缠绕分数，我们对圆的任意（可能无限）子集的 Vietoris-Rips 复形的同伦型进行分类，并研究从圆中均匀随机采样的 Vietoris-Rips 复形的期望同伦型。此外，我们展示随着距离参数增大，圆的环境 Čech 复形也依次获得圆、3-球、5-球、7-球……的同伦型，直至最终可缩。