Vietoris增稠与复形具有同构的同伦群

我们研究度量空间的覆盖所关联的度量增稠与单纯复形之间的关系。设 $\mathcal{U}$ 是用具有一致直径界的开集对可分度量空间 $X$ 的一个覆盖。Vietoris复形包含所有顶点集包含于某个 $U \in \mathcal{U}$ 中的单纯形，而Vietoris度量增稠是支撑包含于某个 $U \in \mathcal{U}$ 中的概率测度空间，配备最优传输度量。我们证明Vietoris度量增稠与Vietoris复形在所有维度上具有同构的同伦群。特别地，通过适当选取覆盖 $\mathcal{U}$，我们得到Vietoris–Rips度量增稠与单纯复形的同伦群之间的同构，其中两空间均使用约定“直径 $< r$”（而非 $\le r$）定义。类似地，我们得到\v{C}ech度量增稠与单纯复形的同伦群之间的同构，其中两空间均使用开球（而非闭球）定义。