在次二次时间内近似 $n$ 个点云的持久同调

$n$ 点度量空间的 Vietoris-Rips 过滤是一系列大型单纯复形，为原本不连通的空间添加了拓扑结构。持久同调是拓扑数据分析中的关键工具，用于研究在许多尺度上持续的数据的拓扑特征。计算过滤持久同调的最快算法时间复杂度为 $O(M(u)+u^2\log^2 u)$，其中 $u$ 是更新次数（单纯形的添加或删除），$M(u)=O(u^{2.376})$ 是 $u\times u$ 矩阵乘法的时间。对于由成对距离给出的 $n$ 点空间，我们将 Vietoris-Rips 过滤近似为一个由 $u=o(n)$ 次更新组成的 zigzag 过滤，其规模关于 $n$ 是次线性的。该常数取决于给定的近似误差和度量空间的双倍维数。随后，该次线性规模过滤的持久同调可以在 $o(n^2)$ 时间内计算，即关于 $n$ 是次二次的。