Vietoris-Rips 复形的线性规模近似

Vietoris-Rips 滤流是拓扑数据分析中一种用途广泛的工具。它是建立在度量空间上的一系列单纯复形，旨在为原本互不相连的点集添加拓扑结构。它因能编码关于底层度量空间拓扑的有用信息而被广泛使用。这些信息通常从其所谓的持续图中提取。遗憾的是，该滤流通常过于庞大而无法完整构建。我们展示了如何在 $n$ 点度量空间上构建一个 $O(n)$ 规模的过滤单纯复形，使得其持续图是对 Vietoris-Rips 滤流持续图的良好近似。这种新滤流可在 $O(n\log n)$ 时间内构建。其规模和运行时间中的常数因子仅取决于度量空间的倍维数以及所需的近似紧密度。这首次使得对大型数据集在所有尺度上近似 Vietoris-Rips 滤流的持续图在计算上变得可行。我们描述了两种不同的稀疏滤流。第一种是随着尺度增加而移除点的 zigzag 滤流。第二种是产生相同持续图的（非 zigzag）滤流。两种方法均基于分层网树，并产生相同的保证。