持久图空间的度量几何

持久图是在拓扑数据分析中扮演核心角色的对象。在本文中,我们研究持久图空间的局部与整体几何性质。为此,我们构造了一族函子$\mathcal{D}_p$,$1\leq p \leq\infty$,将每个度量对$(X,A)$指派到一个带基点度量空间$\mathcal{D}_p(X,A)$。此外,我们证明$\mathcal{D}_{\infty}$关于度量对的Gromov-Hausdorff收敛是序列连续的,并证明对于$p \in [1,\infty)$,$\mathcal{D}_p$保持若干有用的度量性质,如完备性与可分性,而对于$p=2$则保持Alexandrov意义下的测地性与非负曲率。对于后者,我们描述了空图处方向空间的度量。我们还证明,在$\mathcal{D}_p(X,A)$($1\leq p \leq\infty$)上具有限二阶矩与紧支撑的Borel概率测度的Fr\'echet均值集非空。作为我们几何框架的应用,我们证明欧氏持久图空间$\mathcal{D}_{p}(\mathbb{R}^{2n},\Delta_n)$($1\leq n$且$1\leq p<\infty$)具有无限的覆盖维数、Hausdorff维数、渐近维数、Assouad维数与Assouad-Nagata维数。