虚拟持久图谱群 Banach 完备空间上的再生核 Hilbert 空间

持久同调将由 $\mathbb R$ 中的元素筛选的单纯复形映射到有限形式上 $\mathbb R_{\leq}^{2} = \{ (b,d) \in \mathbb R^2 \cup \{ \infty \} \mid b < d \}$ 的元素之和，称为（有限）持久图。该映射对于所有 $p \in \left[1, + \infty \right]$ 的 $p$--Wasserstein 距离保持稳定性。Bubenik 和 Elchesen 将有限持久图的自由平移不变交换 Lipschitz 单半径 $(X,d,A) = D(X)/D(A)$ 的任意度量对 $(X,d,A)$ 上的自由平移不变 Abel 群的虚拟持久图 $K(X,A) = K(X)/K(A)$ 通过格洛瓦夫群完成嵌入 $D(X,A) \hookrightarrow K(X,A)$ 作为等距嵌入。他们证明 $p$-Wasserstein 距离在 $D(X,A)$ 上平移不变当且仅当 $p=1$，并定义唯一平移不变嵌入 $W_1[d]$ 到 $K(X,A)$ 为 $\rho$。当 $K(X,A)$ 为局部紧 Abel 群时，可通过正定函数和 Bochner 定理在 Pontryagin 双空间上构造平移不变核。我们证明对于由 $\rho$ 诱导的度量拓扑，群 $(K(X,A),\rho)$ 在局部紧当且仅当其为离散，等价于指向度量空间 $(X/A,d_1,[A])$ 在均匀离散时，因而该方法在此情形之外失败。假设 $(X/A,d_1,[A])$ 为可分离且不均匀离散，我们发展了针对非局部紧虚拟持久图谱群的平移不变核理论。群 $K(X,A)$ 等距嵌入到其规范 Banach 空间线性化 $B=\widehat V(X,A)\cong\mathcal F(X/A,d_1)$ 中，每个有界对称正算子 $Q\colon B\to B^\ast$ 决定平移不变高斯核 $k(x,y)=\exp\!\left(-\tfrac12\,\langle Q(x-y),x-y\rangle_{B,B^\ast}\right)$。